P5015 - 「CTSC2017」游戏

問題

P5015「CTSC2017」游戏

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SPJ

審判説明 : 1.5s 512m

問題説明

小 R 和室友小 B 在寝室里玩游戏。他们一共玩了 $n$ 局游戏，每局游戏的结果要么是小 R 获胜，要么是小 B 获胜。
第 $1$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_1$，小 B 获胜的概率是 $1 - p_1$。除了第一局游戏之外，每一局游戏小 R 获胜的概率与上一局游戏小 R 是否获胜有关。

具体来说：

如果第 $i − 1 (1 < i \leq n)$ 局游戏小 R 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $p_i$，小 B 获胜的概率为 $1 - p_i$。
如果第 $i − 1 (1 < i \leq n)$ 局游戏小 B 获胜，那么第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率为 $q_i$，小 B 获胜的概率为 $1 - q_i$。

小 D 时常过来看小 R 和小 B 玩游戏，因此他知道某几局游戏的结果。他想知道在他已知信息的条件下，小 R 在 $n$ 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

小 D 记性不太好，有时他会回忆起某局游戏的结果，并把它加入到已知信息中；有时他会忘记之前某局游戏结果，并把它从已知信息中删除。你的任务是：每当小 D 在已知信息中增加或删除一条信息时，根据小 D 记得的已知信息，帮助小 D 计算小 R 在 $n$ 局游戏中总共获胜局数的期望是多少。

需要注意的是：如果小 D 忘了一局游戏的结果，之后又重新记起，两次记忆中的游戏结果不一定是相同的。你不需要关心小 D 的记忆是否与实际情况相符，你只需要根据他的记忆计算相应的答案。

入力形式

第一行两个正整数 $n， m$ 和一个字符串 $\text{type}$。表示小 R 和小 B 一共玩了 $n$ 局游戏，小 D 一共进行了 $m$ 次修改已知信息的操作，该数据的类型为 $\text{type}$。$\text{type}$ 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入，其具体含义见「数据范围与提示」中的「限制与约定」。

接下来 $n$ 行，第一行包含一个实数 $p_1$，表示第一局比赛小 R 获胜的概率是 $p_1$。第 $i (1 < i \leq n)$ 行包含两个实数 $pi_i, q_i$。表示在第 $i − 1$ 局游戏小 R 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $p_i$；$q_i$ 表示在第 $i − 1$ 局游戏小 B 获胜的情况下，第 $i$ 局游戏小 R 获胜的概率是 $q_i$。

接下来 $m$ 行，每行描述一个小 D 已知信息的变化，操作分为两类。

add i c 表示小 D 回忆起了第 $i$ 局比赛的结果，并把它加入到已知信息中。若 $c = 0$ 表示第 $i$ 局比赛小 B 获胜，若 $c = 1$ 表示第 $i$ 局比赛小 R 获胜。数据保证 $i, c$ 均为整数且 $1 \leq i \leq n, 0 \leq c \leq 1$，如果这个操作不是第一个操作，保证在上一个操作结束后的已知信息中没有第 $i$ 局比赛的结果。
del i 表示小 D 忘记了第 $i$ 局比赛的结果，并把它从已知信息中删除。数据保证 $i$ 是整数且 $1 \leq i \leq n$，保证在上一个操作结束后的已知信息中有第 $i$ 局比赛的结果。

出力形式

对于每个操作，输出一行实数，表示操作结束后，在当前已知信息的条件下，小 R 在 $n$ 局游戏中总共获胜的局数的期望是多少。

サンプル入力

3 3 A
0.3
0.5 0.2
0.9 0.8
add 1 1
add 3 0
del 1

サンプル出力

2.350000
1.333333
0.432749

ヒント

样例解释

运用贝叶斯公式

第一问：

\[ \begin{aligned} p(x_2 = 1|x_1 = 1) &= 0.5 \\ p(x_3 = 1|x_1 = 1) &= 0.5 \times 0.9 + 0.5 \times 0.8 = 0.85 \\ E(x_1 +x_2 +x_3 |x_1 = 1) &= 0.5 + 0.85 + 1 = 2.35 \end{aligned} \]

第二问：

\[ \begin{aligned} p(x_2 = 1|x_1 = 1, x_3 = 0) &= \frac{p(x_3 =0|x_1=1,x_2=1)p(x_2 = 1|x_1 =1)}{p(x_3 =0|x_1 =1)} \approx 0.333 \\ E(x_1 + x_2 + x_3|x_1 =1, x_3 = 0) &\approx 1.333 \end{aligned} \]

第三问：

对于

\[ p(x_2 = 1|x_3 = 0) = \frac{p(x_3 = 0|x_2 = 1)p(x_2 = 1)}{p(x_3 = 0)} \]

其中

\[ \begin{aligned} p(x_3 = 0|x_2 = 1) &= 0.1 \\ p(x_2 = 1) &= 0.3 \times 0.5 + 0.7 \times 0.2 = 0.29 \\ p(x_3 = 0) &= 0.29 \times 0.1 + 0.71 \times 0.2 = 0.171 \end{aligned} \]

所以

$p(x_2 = 1|x_3 = 0) = 0.1 \times 0.29/0.171 \approx 0.16959$

对于

$p(x_1 = 1|x_3 = 0) = \frac{p(x_3 =0|x_1=1)p(x_1=1)}{p(x_3 =0)}$

其中

\[ \begin{aligned} p(x_3 = 0|x_1 = 1) &= 0.5 \times 0.1 + 0.5 \times 0.2 = 0.15 \\ p(x_1 = 1) &= 0.3 \\ p(x_3 = 0) &= 0.171 \end{aligned} \]

所以

\[ \begin{aligned} p(x_1 = 1|x_3 = 0) &= 0.15 \times 0.3/0.171 \approx 0.26316 \\ E(x_1 + x_2 + x_3|x_3 = 0) &\approx 0.43275 \end{aligned} \]

评分标准

如果你的答案与正确答案的绝对误差在 $10 ^ {−4}$ 以内，则被判定为正确。
如果你的所有答案均为正确，则得满分，否则得 0 分。

请注意输出格式：每行输出一个答案，答案只能为一个实数。每行的长度不得超过 50。错误输出格式会被判定为 0 分。

限制与约定

对于 $100\%$ 的数据，$1 \leq n \leq 200000, 1 \leq m \leq 200000, 0 < pi, qi < 1$。
对于 $100\%$ 的数据，输入保留最多四位小数。

本题共有 20 个数据点，每个数据点 5 分，每个测试点的具体约定如下表：

测试点	$ n $	$ m $	数据类型
1 ~ 2	$ \leq 10 $	$ \leq 20 $	A
3 ~ 4	$ \leq 100 $	$ \leq 100 $	B
5 ~ 6	$ \leq 1000 $	$ \leq 5000 $	A
7 ~ 9	$ \leq 2000 $	$ \leq 5000 $	B
10 ~ 13	$ \leq 10000 $	$ \leq 200000 $	B
14 ~ 15	$ \leq 200000 $	$ \leq 200000 $	C
16 ~ 17			D
18 ~ 20			A

数据类型的含义：

A：无限制
B：$\forall i > 1, |pi − qi| > 0.999$
C：同一时刻，小 D 最多只有 $1$ 条已知信息
D：同一时刻，小 D 最多只有 $5$ 条已知信息

小 R 教你学数学

你可能会用到以下公式

条件概率的计算方法
我们记 $p(A|B)$ 表示在已知事件 $B$ 发生时事件 $A$ 发生的概率，条件概率可以用以下公式计算：

$p(A|B) = \frac{p(AB)}{p(B)}$

其中 $p(AB)$ 表示事件 $B$ 和事件 $A$ 同时发生的概率，$p(B)$ 表示事件 $B$ 发生的概率。

贝叶斯公式（bayes）
由条件概率的计算方法，我们容易得到贝叶斯公式：

$p(A|B) = \frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}$

全概率公式
如果随机变量 $x$ 有 $k$ 个取值，分别为 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 那么

$p(A) = \sum\limits_{i = 1} ^ k p(A|x = x_i) p(x = x_i)$

温馨提示

在本题中，如果你希望获得全部的分数，你可能需要考虑由于浮点数运算引入的误差。只使用加法和乘法运算不会引入太大的误差，但请谨慎使用减法和除法。

两个大小相近的数相减可以引入非常大的相对误差。
如果一个矩阵的行列式值非常小，那么求解该矩阵的逆可以带来相当大的误差。

当然，如果你的算法在数学上是正确的，但没有考虑浮点数运算的误差问题，可能仍然可以获得一部分的分数。